TEORÍA DE JUEGOS: DINÁMICA DEL VALOR DEL JUEGO

JUEGOS ESTRICTAMENTE DETERMINADOS

Un juego es estrictamente determinado si tiene por lo menos un punto de silla. Las siguientes condiciones se aplican a los juegos estrictamente determinados:

    1. Todos los puntos de silla en un juego tienen los mismos valores de pago.

   2. Elegir el renglón y la columna que pasan por cualquier punto de silla de estrategias minimax para ambos jugadores. Es decir, el juego es solucionado por el uso de estas estrategias puras.

 El valor de un juego estrictamente determinado es el valor del punto de silla. Un juego justo tiene un valor igual a cero, si no, es injusto o parcial.

VALOR DEL JUEGO PARA JUEGOS ESTRICTAMENTE DETERMINADOS

Para encontrar el valor de un juego estrictamente determinados, utilizamos las estrategias minimax y maximin de la siguiente manera:

1.      Identificamos los mínimos del jugador renglón.

2.      Identificamos los máximos del jugador columna.

3.      Seleccionamos de los minimos el mayor.

4.      Seleccionamos de los máximos el menor.

Si el maximin y el minimax coinciden en su valor decimos que el juego es estrictamente determinado.

Veamos los siguientes ejemplos:

El valor del juego es 2

El valor del juego es 4

      

JUEGOS ESTRICTAMENTE NO DETERMINADOS

Esta clase de juegos tiene más de una alternativa de juego por lo que los jugadores podrían ganar, por lo que no están obligados siempre a jugar con la misma estrategia, no presentan un punto de silla por lo que el número menor de todos los máximos de las columnas no es igual al número mayor de los menores renglones, dando como resultado un juego estrictamente determinado.

Veamos el siguiente ejemplo:

Para resolver este juego hacemos uso del método gráfico:

·         PARA EL JUGADOR COLUMNA

De la tabla anterior tabla salen las siguientes expresiones para la estrategia I:

Despejando de la segunda P2 y se reemplaza en la primera:

Si P1 =0  P(0)= -1

SI P1=1  P(1)= 3

De la tabla anterior tabla salen las siguientes expresiones para la estrategia II:

Despejando de la segunda P2 y se reemplaza en la primera:

Si P=0   P(0)=5

Si P=1  P(1)=-2

Lo anterior se ilustra en la siguiente gráfica:

Para hallar el punto donde se interceptan las dos ecuaciones  solamente las igualamos:

Por lo que el valor esperado para el jugador columna esta dado por:

·         PARA EL JUGADOR RENGLÓN

De la tabla anterior tabla salen las siguientes expresiones para la estrategia I:

Si Q1 =0  Q(0)= -2

SI Q1=1  P(1)= 3

De la tabla anterior tabla salen las siguientes expresiones para la estrategia II:

Despejando de la segunda P2 y se reemplaza en la primera:

Si Q=0   Q(0)=5

Si Q=1  Q(1)=-1

Lo anterior se ilustra en la siguiente gráfica:

Para hallar el punto donde se interceptan las dos ecuaciones  solamente las igualamos:

Por lo que el valor esperado para el jugador columna esta dado por:

Éste valor no solo representa que ganara el juego sino también que se llevara el premio con mayor valor.

Otra forma para hallar que estrategia permitirá obtener una ganancia para cada jugador, es dándole probabilidades a cada estrategia para calcular el valor esperado.

Tomemos a manera de ilustración el anterior ejemplo. Supongamos que tienen las siguientes probabilidades

Es decir que el jugador renglón gana con respecto al jugador columna cuanto utiliza la estrategia I.