INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II: ESTADOS ABSORBENTES

Se dice que un estado es absorbente si es cero la probabilidad de hacer una transición fuera de ese estado. Por tanto, una vez que el sistema hace una transición hacia un estado absorbente, permanece en el siempre

MATRIZ FUNDAMENTAL

La matriz fundamental es muy útil para el análisis y solución de situaciones en las cuales aparecen estados absorbentes.

La metodología para obtener la matriz fundamental es la siguiente:

1. Obtener la matriz de transición en la forma usual, incluyendo los estados absorbentes.

2. Identificar de la matriz de transición los renglones correspondientes a la matriz absorbente

3. De lo que ha quedado de la matriz de transición en el paso anterior, dividirlo en dos partes: N que será la parte no absorbente y A que contendrá los estados absorbentes

4. Obtenemos la matriz U mediante la siguiente fórmula:

U=I-N

Donde I es la matriz identidad.

5. Finalmente, se obtiene la matriz identidad de la siguiente manera:

X=U^-1

Donde X representa la inversa de U, la cual se obtiene por algunos métodos como el Gauss- Jordan.

Veamos el siguiente ejemplo en el cual explicaremos algunos conceptos importantes:

Una empresa emplea a tres tipos de ingenieros: principiantes, con experiencia y socios. Durante un año determinado hay una probabilidad de 0.15 que un ingeniero principiante sea ascendido a ingeniero con experiencia y una probabilidad de 0.05 que deje la empresa sin ser socio. También hay una probabilidad de 0.20 que un ingeniero con experiencia sea ascendido a socio y una probabilidad de 0.10 que deje la empresa sin ser socio. También hay una probabilidad de 0.05 de que un socio deje la empresa. Determine:

a) ¿Cuál es la duración promedio de un ingeniero recién contratado?

b) ¿cuál es la probabilidad de que un ingeniero principiante llegue a ser socio?

c) ¿Cuál es la duración promedio que pasa un socio en la empresa?

Primero, determinamos la matriz de transición en la cual se observa que hay dos estados absorbentes: el ingeniero deje la empresa sin ser socio y que un socio deje la empresa

Donde IP= INGENIERO PRINCIPIANTE

IE= INGENIERO CON EXPERIENCIA

IS = INGENIERO SOCIO

IDS= INGENIERO DEJA LA EMPRESA SIENDO SOCIO

IDSS= INGENIERO DEJA LA EMPRESA SIN SER SOCIO

Luego hallamos la matriz I-N, donde I es la matriz de identidad y N la matriz no absorbente identificada en el paso anterior.

Luego a través de Gauss-Jordan, hallamos la matriz inversa como se muestra a continuación.

Para responder la primera pregunta debemos tener presente un nuevo concepto que es el valor esperado que es el tiempo en que un estado demora antes de ser absorbido. Este valor esperado se obtiene a través de la matriz inversa. De esta forma, la duración promedio de un recién contratado seria:

Para hallar la probabilidad de que un ingeniero principiante llegue a ser socio se debe multiplicar la matriz inversa por la matriz absorbente, de la siguiente manera: