TEORÍA DE JUEGOS

HISTORIA

La teoría de juegos como tal fue creada por el matemático húngaro John Von Neumann (1903-1957) y por Oskar Morgenstern (1902-1976) en 1944 gracias a la publicación de su libro “The Theory of Games Behavior”. Anteriormente los economistas Cournot y Edgeworth habían anticipado ya ciertas ideas, a las que se sumaron otras posteriores de los matemáticos Borel y Zermelo que en uno de sus trabajos (1913) muestra que juegos como el ajedrez son resolubles. Sin embargo, no fue hasta la aparición del libro de Von Neumann y Morgenstern cuando se comprendió la importancia de la teoría de juegos para estudiar las relaciones humanas.

 

Von Neumann y Morgenstern investigaron dos planteamientos distintos de la Teoría de Juegos. El primero de ellos el planteamiento estratégico o no cooperativo. Este planteamiento requiere especificar detalladamente lo que los jugadores pueden y no pueden hacer durante el juego, y después buscar cada jugador una estrategia óptima.

En la segunda parte de su libro, Von Neumann y Morgenstern desarrollaron el planteamiento coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir la conducta óptima en juegos con muchos jugadores. Puesto que éste es un problema mucho más difícil, sus resultados fueran mucho menos precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y dos jugadores.

En los años 50 hubo un desarrollo importante de estas ideas en Princeton, con Luce and Raiffa (1957), difundiendo los resultados en su libro introductoria, Kuhn (1953) que permitió establecer una forma de atacar los juegos cooperativos, y por fin Nash (1950) quien definió el equilibrio que lleva su nombre, lo que permitió extender la teoría de juegos no-cooperativos más generales que los de suma cero.

John Forbes Nash (1928- ) es el nombre más destacado relacionado con la teoría de juegos. A los 21 años escribió una tesina de menos de treinta páginas en la que expuso por primera vez su solución para juegos estratégicos no cooperativos, lo que desde entonces se llamó "el equilibrio de Nash", que tuvo un inmediato reconocimiento entre todos los especialistas.

El punto de equilibrio de Nash es una situación en la que ninguno de los jugadores siente la tentación de cambiar de estrategia ya que cualquier cambio implicaría una disminución en sus pagos. Von Neumann y Oskar Morgenstern habían ya ofrecido una solución similar pero sólo para los juegos de suma cero. Para la solución formal del problema, Nash utilizó funciones de mejor respuesta y el teorema del punto fijo de los matemáticos Brouwer y Kakutani.

TEORÍA DE JUEGOS

La palabra juego hace referencia a divertimiento y también a actividades en que los participantes sometidos a reglas que hay que cumplir intentar ganar, pero pueden perder. Son muy conocidos los juegos de mesas como el poker y el ajedrez. En este juego, cada jugador intenta conseguir el mejor resultado posible (maximizar su utilidad), pero teniendo en cuenta que el resultado del juego no depende solamente de sus acciones, sino también de las acciones de los otros jugadores. La teoría de juegos se ocupa del análisis riguroso y sistemático de estas situaciones.

TEORÍA DE JUEGOS: CONCEPTOS CLAVES

MATRIZ DE PAGO:

Es una matriz donde se incluyen todos los resultados del juego para las posibles combinaciones que puede haber.

La matriz de pago de un juego bi-personal de suma cero tiene renglones etiquetados por las acciones  del jugador renglón y columna etiquetadas por las acciones de su contrincante, el jugador columna. La entrada ij de la matriz es el pago que gana el jugador renglón en caso de que el jugador renglón use acción i y el jugador columna use acción j.

JUEGOS DE SUMA CERO:

Suma cero describe una situación en la que la ganancia o pérdida de un participante se equilibra con exactitud con las pérdidas o ganancias de los otros participantes.

Se llama así; porque si se suma el total de las ganancias de los participantes y se resta las pérdidas totales el resultado es cero. El ajedrez, el póker  son ejemplos de juegos de suma cero.

ESTRATEGIAS

La estrategia de un jugador es un plan de acción completa para cualquier situación que pueda acceder, determina completamente la conducta del jugador. Son las distintas acciones que puede tomar un jugador, cada uno de los cuales lleva un valor numérico asociado a ella y conducente al valor del juego, dependiendo de las combinaciones de las estrategias.

·         Estrategias Puras: Proporciona una definición completa para la forma en que un jugador pueda jugar un juego. En particular, define para cada elección posible la opción que toma el jugador. El espacio de la estrategia de un jugador es el conjunto de estrategias puras disponibles al jugador.

·         Estrategias Aleatorizada: Es una asignación de la probabilidad a cada estrategia pura. Define una probabilidad sobre las estrategias y refleja que, en lugar de elegir una estrategia pura en particular, el jugador elegirá en función de la distribución dada por la estrategia mezclada.

ESTRATEGIA DOMINANTE

Una estrategia dominante es aquella elección que realiza el jugador independientemente de lo que haga el otro. En el juego representado en la matriz, la estrategia dominante para A es elegir “abajo”, mientras que la estrategia dominante para B es elegir “izquierda”. Estas estrategias dominantes dan como resultado el equilibrio de estrategias dominantes del juego.

VALOR DEL JUEGO:

Es el resultado numérico final que se obtiene cuando cada jugador define sus estrategias. Es el pago que un jugador tiene garantizado que puede recibir un juego si toma una decisión racional, independiente de las decisiones de los demás jugadores.

El valor de un juego justo suma cero.

·         PUNTO DE SILLA,

Un punto de silla es un pago que es simultáneamente un mínimo de su renglón y un máximo de su columna. Para encontrar puntos de silla, rodear los mínimos renglón y meta en caja los máximas columna. Los puntos de silla son aquellas entradas que son simultáneamente rodeados y en caja.

  

Tomado de: Fundamentos de Investigación de Operaciones para Administración:

http://books.google.com/books?id=CL3E0b_6F_cC&pg=PA63&dq=matriz+de+pago+teoria+de+juegos&hl=es&ei=bBfwTaztE4jHgAe78ICVDw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=4&ved=0CD0Q6AEwAw#v=onepage&q&f=false

Tomado de la página de internet:

http://teoriadejuegosblog.blogspot.com/

TEORÍA DE JUEGOS: DINÁMICA DEL VALOR DEL JUEGO

JUEGOS ESTRICTAMENTE DETERMINADOS

Un juego es estrictamente determinado si tiene por lo menos un punto de silla. Las siguientes condiciones se aplican a los juegos estrictamente determinados:

    1. Todos los puntos de silla en un juego tienen los mismos valores de pago.

   2. Elegir el renglón y la columna que pasan por cualquier punto de silla de estrategias minimax para ambos jugadores. Es decir, el juego es solucionado por el uso de estas estrategias puras.

 El valor de un juego estrictamente determinado es el valor del punto de silla. Un juego justo tiene un valor igual a cero, si no, es injusto o parcial.

VALOR DEL JUEGO PARA JUEGOS ESTRICTAMENTE DETERMINADOS

Para encontrar el valor de un juego estrictamente determinados, utilizamos las estrategias minimax y maximin de la siguiente manera:

1.      Identificamos los mínimos del jugador renglón.

2.      Identificamos los máximos del jugador columna.

3.      Seleccionamos de los minimos el mayor.

4.      Seleccionamos de los máximos el menor.

Si el maximin y el minimax coinciden en su valor decimos que el juego es estrictamente determinado.

Veamos los siguientes ejemplos:

El valor del juego es 2

El valor del juego es 4

      

JUEGOS ESTRICTAMENTE NO DETERMINADOS

Esta clase de juegos tiene más de una alternativa de juego por lo que los jugadores podrían ganar, por lo que no están obligados siempre a jugar con la misma estrategia, no presentan un punto de silla por lo que el número menor de todos los máximos de las columnas no es igual al número mayor de los menores renglones, dando como resultado un juego estrictamente determinado.

Veamos el siguiente ejemplo:

Para resolver este juego hacemos uso del método gráfico:

·         PARA EL JUGADOR COLUMNA

De la tabla anterior tabla salen las siguientes expresiones para la estrategia I:

Despejando de la segunda P2 y se reemplaza en la primera:

Si P1 =0  P(0)= -1

SI P1=1  P(1)= 3

De la tabla anterior tabla salen las siguientes expresiones para la estrategia II:

Despejando de la segunda P2 y se reemplaza en la primera:

Si P=0   P(0)=5

Si P=1  P(1)=-2

Lo anterior se ilustra en la siguiente gráfica:

Para hallar el punto donde se interceptan las dos ecuaciones  solamente las igualamos:

Por lo que el valor esperado para el jugador columna esta dado por:

·         PARA EL JUGADOR RENGLÓN

De la tabla anterior tabla salen las siguientes expresiones para la estrategia I:

Si Q1 =0  Q(0)= -2

SI Q1=1  P(1)= 3

De la tabla anterior tabla salen las siguientes expresiones para la estrategia II:

Despejando de la segunda P2 y se reemplaza en la primera:

Si Q=0   Q(0)=5

Si Q=1  Q(1)=-1

Lo anterior se ilustra en la siguiente gráfica:

Para hallar el punto donde se interceptan las dos ecuaciones  solamente las igualamos:

Por lo que el valor esperado para el jugador columna esta dado por:

Éste valor no solo representa que ganara el juego sino también que se llevara el premio con mayor valor.

Otra forma para hallar que estrategia permitirá obtener una ganancia para cada jugador, es dándole probabilidades a cada estrategia para calcular el valor esperado.

Tomemos a manera de ilustración el anterior ejemplo. Supongamos que tienen las siguientes probabilidades

Es decir que el jugador renglón gana con respecto al jugador columna cuanto utiliza la estrategia I.

 

REDUCCIÓN DE UNA MATRIZ

Esta situación es bastante especial, en ella se puede obtener la respuesta con sólo  aplicar el concepto de  estrategia dominada  para eliminar una serie de estrategias  inferiores hasta que quede sólo una para elegir.  Específicamente, se puede eliminar una estrategia cuando está dominado por otra, es decir, si existe otra estrategia que siempre  es al menos tan buena como ésta, sin importar lo que hace el oponente.

Consideremos el siguiente ejemplo: